Matlab代數(shù)(方程求解)

到目前為止，我們已經(jīng)看到所有的例子都在MATLAB以及它的GNU，或者稱(chēng)為Octave。 但是，為了求解基本代數(shù)方程，MATLAB和Octave都不同，所以這里將分別介紹MATLAB和Octave。

我們還將討論代數(shù)表達(dá)式的分解和簡(jiǎn)化。

在MATLAB中求解基本代數(shù)方程

solve函數(shù)用于求解代數(shù)方程。 在其最簡(jiǎn)單的形式中，solve函數(shù)將引用中的方程式作為參數(shù)。

例如，在等式x-5 = 0中求解x，參考以下代碼實(shí)現(xiàn) -

solve('x-178=0')

MATLAB將執(zhí)行上述語(yǔ)句并返回以下結(jié)果 -

Trial>> solve('x-178=0')
ans =

178

也可以這樣調(diào)用solve函數(shù) -

Trial>> solve('x-110 = 0')
ans =

110

甚至可以不用包括方程的右側(cè)部分 -

Trial>> solve('x-110')
ans =

110

如果方程式涉及多個(gè)符號(hào)，則默認(rèn)情況下，MATLAB假定正在求解x，但是，solve函數(shù)具有另一種形式 -

solve(equation, variable)

其中，也可以涉及到變量。

例如，要求解v - u - 3t^2 = 0(這里為t的平方)，對(duì)于v，在這種情況下，應(yīng)該書(shū)寫(xiě)為 -

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLAB執(zhí)行上述語(yǔ)句將返回以下結(jié)果 -

ans =
 3*t^2 + u

求解代數(shù)中的基本代數(shù)方程

roots函數(shù)用于求解代數(shù)中的代數(shù)方程，可以重寫(xiě)上面的例子如下：

例如，要在等式x-5 = 0中求解x的值 -

roots([1, -5])

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

Trial>> roots([1, -5])

ans =

     5

也可以這樣調(diào)用roots函數(shù) -

y = roots([1, -5])

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

Trial>> y = roots([1, -5])

y =

     5

在MATLAB中求解二次方程

solve函數(shù)也可以用來(lái)求解高階方程。通常用于求解二次方程。 該函數(shù)返回?cái)?shù)組中方程的根。

以下示例求解二次方程x^2 -7x +12 = 0(注：x^2表示x的平方)。創(chuàng)建腳本文件并鍵入以下代碼 -

eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

Trial>> eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

The first root is: 
3

The second root is: 
4

在Octave中求解二次方程

以下示例解決Octave中的二次方程x^2-7x +12 = 0。創(chuàng)建腳本文件并鍵入以下代碼 -

s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

Trial>> s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
The first root is: 
     4

The second root is: 
     3

求解MATLAB中的高階方程

solve函數(shù)也可以解決高階方程。例如，下面演示求解(x-3)^2(x-7)= 0(注：(x-3)^2表示(x-3)的平方)的三次方程 -

MATLAB執(zhí)行上述語(yǔ)句將返回以下結(jié)果 -

ans =
  3
  3
  7

在較高階方程的情況下，根很長(zhǎng)，包含很多項(xiàng)?？梢酝ㄟ^(guò)將這些根的數(shù)值轉(zhuǎn)換為double來(lái)獲得數(shù)值。 以下示例解決四階方程x^4 - 7x^3 + 3x^2 - 5x + 9 = 0(注：x^4表示x的4次方)。

創(chuàng)建腳本文件并鍵入以下代碼 -

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

MATLAB執(zhí)行上述語(yǔ)句將返回以下結(jié)果 -

The first root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 1)

The second root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 2)

The third root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 3)

The fourth root is: 
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 4)

Numeric value of first root
    1.0598

Numeric value of second root
    6.6304

Numeric value of third root
  -0.3451 - 1.0778i

Numeric value of fourth root
  -0.3451 + 1.0778i

請(qǐng)注意，最后兩個(gè)根是復(fù)數(shù)。

在Octave中求解高階方程

以下示例示解四階方程：x^4 - 7x3 + 3x^2 - 5x + 9 = 0。

創(chuàng)建腳本文件并鍵入以下代碼 -

v = [1, -7,  3, -5, 9];

s = roots(v);
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

MATLAB執(zhí)行上述語(yǔ)句將返回以下結(jié)果 -

Trial>> v = [1, -7,  3, -5, 9];

s = roots(v);
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));
Numeric value of first root
    6.6304

Numeric value of second root
    1.0598

Numeric value of third root
  -0.3451 + 1.0778i

Numeric value of fourth root
  -0.3451 - 1.0778i

MATLAB中求解方程組

solve函數(shù)也可用于生成包含多個(gè)變量的方程組的解。下面來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。

下面來(lái)求解方程式 -

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

創(chuàng)建腳本文件并鍵入以下代碼 -

s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
x = s.x
y = s.y

MATLAB執(zhí)行上述語(yǔ)句將返回以下結(jié)果 -

x =

22/19


y =

-5/57

同樣，可以示解決更大的線性系統(tǒng)。 考慮以下一組方程式 -

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

在Octave中求解方程組

還可以使用不同的方法來(lái)示解n未知數(shù)的n線性方程組。下面來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。

假設(shè)要示解方程式 -

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

這種線性方程組可以寫(xiě)成單矩陣方程Ax = b，其中A是系數(shù)矩陣，b是包含線性方程右邊的列向量，x是表示解的方法的列向量。如下圖所示 -

創(chuàng)建腳本文件并鍵入以下代碼 -

A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A \ b

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

ans =

   1.157895
  -0.087719

同樣，可以示解下面給出的較大的方程組 -

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

在MATLAB中擴(kuò)展和集合方程

expand 和 collect函數(shù)分別擴(kuò)展和集合方程。以下示例演示了這些概念 -

當(dāng)使用許多符號(hào)功能時(shí)，應(yīng)該聲明變量為符號(hào)。

創(chuàng)建腳本文件并鍵入以下代碼 -

syms x %symbolic variable x
syms y %symbolic variable x
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))

% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

 ans =
 x^2 + 4*x - 45
 ans =
 x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
 ans =
 2*cos(x)*sin(x)
 ans =
 cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
 ans =
 x^4 - 7*x^3
 ans =
 x^6 - 8*x^5 + 15*x^4

在Octave擴(kuò)展和集合方程

需要有symbolic包，它提供了expand和collect函數(shù)來(lái)分別擴(kuò)展和集合方程。 以下示例演示了這些概念 -

當(dāng)使用許多符號(hào)功能時(shí)，應(yīng)該聲明變量是符號(hào)，但是Octave具有不同的方法來(lái)定義符號(hào)變量。注意使用的是Sin和Cos，它們是定義在symbolic包中的。

創(chuàng)建腳本文件并鍵入以下代碼 -

% first of all load the package, make sure its installed.
pkg load symbolic

% make symbols module available
symbols

% define symbolic variables
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))

% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

運(yùn)行文件時(shí)，會(huì)顯示以下結(jié)果 -

ans =

-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =

210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =

sin((2.0)*x)
ans =

cos(y+x)
ans =

x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =

(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)

代數(shù)表達(dá)式的因式分解和簡(jiǎn)化

因子函數(shù)將表達(dá)式分解，簡(jiǎn)化函數(shù)簡(jiǎn)化表達(dá)式。 以下示例演示了這一概念 -

示例

創(chuàng)建腳本文件并鍵入以下代碼 -

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
f = factor(y^2*x^2,x)
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

Trial>> factorization

ans =

[ x - y, x^2 + x*y + y^2]


f =

[ y^2, x, x]


ans =

x^2 + 4