MATLAB提供了解決微分和積分微積分的各種方法,求解任何程度的微分方程和極限計(jì)算??梢暂p松繪制復(fù)雜功能的圖形,并通過(guò)求解原始功能以及其衍生來(lái)檢查圖形上的最大值,最小值和其他固定點(diǎn)。
本章將介紹微積分問(wèn)題。在本章中,將討論預(yù)演算法,即計(jì)算功能限制和驗(yàn)證限制屬性。
在下一章微分中,將計(jì)表達(dá)式的導(dǎo)數(shù),并找到一個(gè)圖的局部最大值和最小值。我們還將討論求解微分方程。
最后,在“整合/集成”一章中,我們將討論積分微積分。
MATLAB提供計(jì)算極限的limit
函數(shù)。在其最基本的形式中,limit
函數(shù)將表達(dá)式作為參數(shù),并在獨(dú)立變量為零時(shí)找到表達(dá)式的極限。
例如,要計(jì)算函數(shù)f(x)=(x^3 + 5)/(x^4 + 7)
的極限,因?yàn)?code>x趨向于零。
syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))
執(zhí)行上面示例代碼,得到以下結(jié)果 -
Trial>> syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))
ans =
5/7
limit
函數(shù)落在符號(hào)計(jì)算域; 需要使用syms
函數(shù)來(lái)告訴MATLAB正在使用的符號(hào)變量。還可以計(jì)算函數(shù)的極限,因?yàn)樽兞口呄蛴诔阒獾哪硞€(gè)數(shù)字。要計(jì)算 -
可使用帶有參數(shù)的limit
命令。第一個(gè)是表達(dá)式,第二個(gè)是數(shù)字 - x
表示接近,這里它是a
。
例如,要計(jì)算函數(shù)f(x)=(x-3)/(x-1)
的極限,因?yàn)?code>x傾向于1
。
limit((x - 3)/(x-1),1)
執(zhí)行上面示例代碼,得到以下結(jié)果 -
ans =
NaN
下面再看另外一個(gè)例子,
limit(x^2 + 5, 3)
執(zhí)行上面示例代碼,得到以下結(jié)果 -
ans =
14
以下是Octave版本的上述示例使用symbolic
包,嘗試執(zhí)行并比較結(jié)果 -
pkg load symbolic
symbols
x=sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)
執(zhí)行上面示例代碼,得到以下結(jié)果 -
ans =
0.7142857142857142857
代數(shù)極限定理提供了極限的一些基本屬性。這些屬性如下 -
下面來(lái)考慮兩個(gè)函數(shù) -
f(x) = (3x + 5)/(x - 3)
g(x) = x^2 + 1.
下面計(jì)算函數(shù)的極限,這兩個(gè)函數(shù)的x
趨向于5
,并使用這兩個(gè)函數(shù)和MATLAB驗(yàn)證極限的基本屬性。
例子
創(chuàng)建腳本文件并在其中鍵入以下代碼 -
syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)
執(zhí)行上面示例代碼,得到以下結(jié)果 -
l1 =
17
l2 =
17
lAdd =
34
lSub =
0
lMult =
289
lDiv =
1
以下是Octave
版本的上述示例使用symbolic
包,嘗試執(zhí)行并比較結(jié)果 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1=subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)
執(zhí)行上面示例代碼,得到以下結(jié)果 -
l1 =
17.0
l2 =
17.0
lAdd =
34.0
lSub =
0.0
lMult =
289.0
lDiv =
1.0
當(dāng)函數(shù)對(duì)變量的某個(gè)特定值具有不連續(xù)性時(shí),該點(diǎn)不存在極限。 換句話說(shuō),當(dāng)x = a
時(shí),函數(shù)f(x)
的極限具有不連續(xù)性,當(dāng)x
的值從左側(cè)接近x
時(shí),x
的值不等于x
從右側(cè)接近的極限值。
對(duì)于x <a
的值,左極限被定義為x - > a
的極限,從左側(cè)即x
接近a
。 對(duì)于x> a
的值,右極限被定義為x - > a
的極限,從右邊,即x
接近a
。 當(dāng)左極限和右極限不相等時(shí),極限不存在。
下面來(lái)看看一個(gè)函數(shù) -
f(x) = (x - 3)/|x - 3|
下面將顯示不存在。MATLAB幫助我們以兩種方式說(shuō)明事實(shí) -
通過(guò)將字符串“l(fā)eft”
和“right”
作為最后一個(gè)參數(shù)傳遞給limit
命令來(lái)計(jì)算左側(cè)和右側(cè)的極限。
例子
創(chuàng)建腳本文件并在其中鍵入以下代碼 -
f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')
執(zhí)行上面示例代碼,得到以下結(jié)果 -
顯示以下輸出結(jié)果 -
Trial>>
Trial>> f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')
l =
-1
r =
1