Matlab微分和導(dǎo)數(shù)

MATLAB提供用于計算符號導(dǎo)數(shù)的diff命令。 以最簡單的形式，將要微分的功能傳遞給diff命令作為參數(shù)。

例如，計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程式 -

例子

創(chuàng)建腳本文件并在其中鍵入以下代碼 -

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

Trial>> syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

ans =

6*t - 4/t^3

以下是使用Octave 計算的寫法 -

pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

ans =

6*t - 4/t^3

基本微分規(guī)則的驗證

下面簡要說明微分規(guī)則的各種方程或規(guī)則，并驗證這些規(guī)則。 為此，我們將寫一個第一階導(dǎo)數(shù)f'(x)和二階導(dǎo)數(shù)f“(x)。

以下是微分的規(guī)則 -

規(guī)則 - 1

對于任何函數(shù)f和g，任何實數(shù)a和b是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

h(x) = af(x) + bg(x)相對于x，由h’(x) = af’(x) + bg’(x)給出。

規(guī)則 - 2

sum和subtraction規(guī)則表述為：如果f和g是兩個函數(shù)，則f'和g'分別是它們的導(dǎo)數(shù)，如下 -

(f + g)' = f' + g'

(f - g)' = f' - g'

規(guī)則 - 3

product規(guī)則表述為：如果f和g是兩個函數(shù)，則f'和g'分別是它們的導(dǎo)數(shù)，如下 -

(f.g)' = f'.g + g'.f

規(guī)則 - 4

quotient規(guī)則表明，如果f和g是兩個函數(shù)，則f'和g'分別是它們的導(dǎo)數(shù)，那么 -

規(guī)則 - 5

多項式或基本次冪規(guī)則表述為：如果y = f(x)= x^n，則 -

這個規(guī)則的直接結(jié)果是任何常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，即如果y = k，那么為任何常數(shù) -

f' = 0

規(guī)則 - 5

chain規(guī)則表述為 - 相對于x的函數(shù)h(x)= f(g(x))的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 -

h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

例子
創(chuàng)建腳本文件并在其中鍵入以下代碼 -

syms x
syms t
f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)
f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)
f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)
f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)
f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)
f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

執(zhí)行上面示例代碼，得到 以下結(jié)果 -

f =
 (x^2 + 3)*(x + 2)

 der1 =
 2*x*(x + 2) + x^2 + 3

f =
 (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)

 der2 =
 (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)

f =
 (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)

der3 =
 (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)

 f =
 (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)

der4 =
 (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2

f =
 (x^2 + 1)^17

der5 =
 34*x*(x^2 + 1)^16

f =
1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6

der6 =
 -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

以下是對上面示例的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols
x=sym("x");
t=sym("t");
f = (x + 2)*(x^2 + 3) 
der1 = differentiate(f,x) 
f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) 
der2 = differentiate(f,t) 
f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) 
der3 = differentiate(f,x) 
f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) 
der4 = differentiate(f,x) 
f = (x^2 + 1)^17 
der5 = differentiate(f,x) 
f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) 
der6 = differentiate(f,t)

指數(shù)，對數(shù)和三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

下表提供了常用指數(shù)，對數(shù)和三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

例子
創(chuàng)建腳本文件并在其中鍵入以下代碼 -

syms x
y = exp(x)
diff(y)
y = x^9
diff(y)
y = sin(x)
diff(y)
y = tan(x)
diff(y)
y = cos(x)
diff(y)
y = log(x)
diff(y)
y = log10(x)
diff(y)
y = sin(x)^2
diff(y)
y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)
y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

y =
 exp(x)
 ans =
 exp(x)


y =
x^9
 ans =
 9*x^8

y =
 sin(x)
 ans =
 cos(x)

y =
 tan(x)
ans =
 tan(x)^2 + 1

 y =
 cos(x)
 ans =
 -sin(x)

y =
 log(x)
 ans =
 1/x

y =
 log(x)/log(10)
 ans =
 1/(x*log(10))

y =
 sin(x)^2
  ans =
 2*cos(x)*sin(x)

 y =

cos(3*x^2 + 2*x + 1)
 ans =
 -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)

y =
 exp(x)/sin(x)
 ans =
 exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

以下代碼是上面代碼的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

計算高階導(dǎo)數(shù)

要計算函數(shù)f的較高導(dǎo)數(shù)，可使用diff(f，n)。

計算函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)公式為 -

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

MATLAB執(zhí)行上面代碼將返回以下結(jié)果 -

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

以下是使用Octave重寫上面示例，代碼如下 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);

differentiate(f, x, 2)

例子
在這個例子中，要解決一個問題。由給定函數(shù)y = f(x)= 3sin(x)+ 7cos(5x)，來找出方程f“+ f = -5cos(2x)是否成立。

創(chuàng)建腳本文件并在其中鍵入以下代碼 -

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % defining the function
lhs = diff(y,2)+y;        %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x);        %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
    disp('Yes, the equation holds true');
else
    disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

運行文件時，會顯示以下結(jié)果 -

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-168*cos(5*x)

以上是上面示例的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);           % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;  %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*Cos(2*x);                 %rhs of the equation

if(lhs == rhs)
    disp('Yes, the equation holds true');
else
    disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

查找曲線的最大和最小值

如果正在搜索圖形的局部最大值和最小值，基本上是在特定地點的函數(shù)圖上或符號變量的特定值范圍內(nèi)查找最高點或最低點。

對于函數(shù)y = f(x)，圖形具有零斜率的圖上的點稱為固定點。 換句話說，固定點是f'(x)= 0。

要找到微分的函數(shù)的固定點，需要將導(dǎo)數(shù)設(shè)置為零并求解方程。

示例

要找到函數(shù)f(x)= 2x3 + 3x2 - 12x + 17的固定點

可參考以下步驟 -

首先輸入函數(shù)并繪制圖，代碼如下 -

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;  % defining the function
ezplot(y)

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

以上是上面示例的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y)
print -deps graph.eps

我們的目標(biāo)是在圖上找到一些局部最大值和最小值，假設(shè)要找到圖中間隔在[-2,2]的局部最大值和最小值。參考以下示例代碼 -

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;  % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])

執(zhí)行上面示例代碼，得到以下結(jié)果 -

以下是上面示例的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps

接下來，需要計算導(dǎo)數(shù)。

g = diff(y)

MATLAB執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果 -

g =

6*x^2 + 6*x - 12

以下是上面示例的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");

y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

接下來求解導(dǎo)數(shù)函數(shù)g，得到它變?yōu)榱愕闹怠?/p>

s = solve(g)

MATLAB執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果 -

s = 
     1
    -2

以下是上面示例的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");

y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])

這與我們設(shè)想情節(jié)一致。 因此，要評估臨界點x = 1，-2處的函數(shù)f。可以使用subs命令替換符號函數(shù)中的值。

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLAB執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果 -

ans =
 10
ans =
 37

以下是上面示例的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");

y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])

subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)

因此，在間隔[-2,2]中函數(shù)f(x)= 2x^3 + 3x^2 - 12x + 17的最小值和最大值分別為10和37。

求解微分方程

MATLAB提供了用于求解微分方程的dsolve命令。

找到單個方程的解的最基本的dsolve命令形式是 -

dsolve('eqn')

其中eqn是用于輸入方程式的文本串。

它返回一個符號解，其中包含一組任意常量，MATLAB標(biāo)記C1，C2等等。
還可以為問題指定初始和邊界條件，以逗號分隔的列表遵循以下公式：

dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)

為了使用dsolve命令，導(dǎo)數(shù)用D表示。例如，像f'(t)= -2 * f + cost(t)這樣的等式輸入為 -

'Df = -2*f + cos(t)'

較高階導(dǎo)數(shù)由D導(dǎo)數(shù)的順序表示。

例如，方程f"(x) + 2f'(x) = 5sin3x應(yīng)輸入為 -

'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'

下面來看一個一階微分方程的簡單例子：y'= 5y。

s = dsolve('Dy = 5*y')

MATLAB執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果 -

s =
 C2*exp(5*t)

再來一個二階微分方程的例子：y“-y = 0，y(0)= -1，y'(0)= 2。

dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

MATLAB執(zhí)行代碼并返回以下結(jié)果 -

ans =
 exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2