除法

除法啰嗦，不僅是 Python。

整數(shù)除以整數(shù)

進(jìn)入 Python 交互模式之后（以后在本教程中，可能不再重復(fù)這類的敘述，只要看到>>>，就說明是在交互模式下），練習(xí)下面的運(yùn)算：

>>> 2 / 5
0
>>> 2.0 / 5
0.4
>>> 2 / 5.0
0.4
>>> 2.0 / 5.0
0.4

看到?jīng)]有？麻煩出來了（這是在 Python2.x 中），按照數(shù)學(xué)運(yùn)算，以上四個(gè)運(yùn)算結(jié)果都應(yīng)該是 0.4。但我們看到的后三個(gè)符合，第一個(gè)居然結(jié)果是 0。why?

因?yàn)?，?Python（嚴(yán)格說是 Python2.x 中，Python3 會有所變化）里面有一個(gè)規(guī)定，像 2/5 中的除法這樣，是要取整（就是去掉小數(shù)，但不是四舍五入）。2 除以 5，商是 0（整數(shù)），余數(shù)是 2（整數(shù)）。那么如果用這種形式：2/5，計(jì)算結(jié)果就是商那個(gè)整數(shù)?；蛘呖梢岳斫鉃椋?strong>整數(shù)除以整數(shù)，結(jié)果是整數(shù)（商）。

比如：

>>> 5 / 2
2
>>> 7 / 2
3
>>> 8 / 2
4

注意：得到是商（整數(shù)）,而不是得到含有小數(shù)位的結(jié)果再通過“四舍五入”取整。例如：5/2，得到的是商 2，余數(shù) 1，最終5 / 2 = 2。并不是對 2.5 進(jìn)行四舍五入。

浮點(diǎn)數(shù)與整數(shù)相除

這個(gè)標(biāo)題和上面的標(biāo)題格式不一樣，上面的標(biāo)題是“整數(shù)除以整數(shù)”，如果按照風(fēng)格一貫制的要求，本節(jié)標(biāo)題應(yīng)該是“浮點(diǎn)數(shù)除以整數(shù)”，但沒有，現(xiàn)在是“浮點(diǎn)數(shù)與整數(shù)相除”，其含義是：

假設(shè)：x 除以 y。其中 x 可能是整數(shù)，也可能是浮點(diǎn)數(shù)；y 可能是整數(shù)，也可能是浮點(diǎn)數(shù)。

出結(jié)論之前，還是先做實(shí)驗(yàn)：

>>> 9.0 / 2
4.5
>>> 9 / 2.0
4.5
>>> 9.0 / 2.0
4.5

>>> 8.0 / 2
4.0
>>> 8 / 2.0
4.0
>>> 8.0 / 2.0
4.0

歸納，得到規(guī)律：不管是被除數(shù)還是除數(shù)，只要有一個(gè)數(shù)是浮點(diǎn)數(shù)，結(jié)果就是浮點(diǎn)數(shù)。所以，如果相除的結(jié)果有余數(shù)，也不會像前面一樣了，而是要返回一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)，這就跟在數(shù)學(xué)上學(xué)習(xí)的結(jié)果一樣了。

>>> 10.0 / 3
3.3333333333333335

這個(gè)是不是就有點(diǎn)搞怪了，按照數(shù)學(xué)知識，應(yīng)該是 3.33333...，后面是 3 的循環(huán)了。那么你的計(jì)算機(jī)就停不下來了，滿屏都是 3。為了避免這個(gè)，Python 武斷終結(jié)了循環(huán)，但是，可悲的是沒有按照“四舍五入”的原則終止。當(dāng)然，還會有更奇葩的出現(xiàn)：

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
>>> 0.1 + 0.1 - 0.2
0.0
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 - 0.3
5.551115123125783e-17
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 - 0.2
0.10000000000000003

越來越糊涂了，為什么 computer 姑娘在計(jì)算這么簡單的問題上，如此糊涂了呢？不是 computer 姑娘糊涂，她依然冰雪聰明。原因在于十進(jìn)制和二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換上，computer 姑娘用的是二進(jìn)制進(jìn)行計(jì)算，上面的例子中，我們輸入的是十進(jìn)制，她就要把十進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制，然后再計(jì)算。但是，在轉(zhuǎn)化中，浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制，就出問題了。

例如十進(jìn)制的 0.1，轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制是：0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

也就是說，轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制后，不會精確等于十進(jìn)制的 0.1。同時(shí)，計(jì)算機(jī)存儲的位數(shù)是有限制的，所以，就出現(xiàn)上述現(xiàn)象了。

這種問題不僅僅是 Python 中有，所有支持浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的編程語言都會遇到，它不是 Python 的 bug。

明白了問題原因，怎么解決呢？就 Python 的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算而言，大多數(shù)機(jī)器上每次計(jì)算誤差不超過 2**53 分之一。對于大多數(shù)任務(wù)這已經(jīng)足夠了，但是要在心中記住這不是十進(jìn)制算法，每個(gè)浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算可能會帶來一個(gè)新的舍入錯(cuò)誤。

一般情況下，只要簡單地將最終顯示的結(jié)果用“四舍五入”到所期望的十進(jìn)制位數(shù)，就會得到期望的最終結(jié)果。

對于需要非常精確的情況，可以使用 decimal 模塊，它實(shí)現(xiàn)的十進(jìn)制運(yùn)算適合會計(jì)方面的應(yīng)用和高精度要求的應(yīng)用。另外 fractions 模塊支持另外一種形式的運(yùn)算，它實(shí)現(xiàn)的運(yùn)算基于有理數(shù)（因此像 1/3 這樣的數(shù)字可以精確地表示）。最高要求則可是使用由 SciPy 提供的 Numerical Python 包和其它用于數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)的包。列出這些東西，僅僅是讓看官能明白，解決問題的方式很多，后面會用這些中的某些方式解決上述問題。

關(guān)于無限循環(huán)小數(shù)問題，我有一個(gè)鏈接推薦給諸位，它不是想象的那么簡單呀。請閱讀：維基百科的詞條：0.999...，會不會有深入體會呢？

補(bǔ)充一個(gè)資料，供有興趣的朋友閱讀：浮點(diǎn)數(shù)算法：爭議和限制

Python 總會要提供多種解決問題的方案的，這是她的風(fēng)格。

引用模塊解決除法--啟用輪子

Python 之所以受人歡迎，一個(gè)很重重要的原因，就是輪子多。這是比喻啦。就好比你要跑的快，怎么辦？光天天練習(xí)跑步是不行滴，要用輪子。找輛自行車，就快了很多。還嫌不夠快，再換電瓶車，再換汽車，再換高鐵...反正你可以選擇的很多。但是，這些讓你跑的快的東西，多數(shù)不是你自己造的，是別人造好了，你來用。甚至兩條腿也是感謝父母恩賜。正是因?yàn)檩喿佣?，可以選擇的多，就可以以各種不同速度享受了。

輪子是人類偉大的發(fā)明。

Python 就是這樣，有各種輪子，我們只需要用。只不過那些輪子在 Python 里面的名字不叫自行車、汽車，叫做“模塊”，有人承接別的語言的名稱，叫做“類庫”、“類”。不管叫什么名字吧。就是別人造好的東西我們拿過來使用。

怎么用？可以通過兩種形式用：

• 形式 1：import module-name。import 后面跟空格，然后是模塊名稱，例如：import os
• 形式 2：from module1 import module11。module1 是一個(gè)大模塊，里面還有子模塊 module11，只想用 module11，就這么寫了。

不啰嗦了，實(shí)驗(yàn)一個(gè)：

>>> from __future__ import division
>>> 5 / 2
2.5
>>> 9 / 2
4.5
>>> 9.0 / 2
4.5
>>> 9 / 2.0
4.5

注意了，引用了一個(gè)模塊之后，再做除法，就不管什么情況，都是得到浮點(diǎn)數(shù)的結(jié)果了。

這就是輪子的力量。

余數(shù)

前面計(jì)算 5/2 的時(shí)候，商是 2，余數(shù)是 1

余數(shù)怎么得到？在 Python 中（其實(shí)大多數(shù)語言也都是），用%符號來取得兩個(gè)數(shù)相除的余數(shù).

實(shí)驗(yàn)下面的操作：

>>> 5 % 2
1
>>> 6%4
2
>>> 5.0%2
1.0

符號：%，就是要得到兩個(gè)數(shù)（可以是整數(shù)，也可以是浮點(diǎn)數(shù)）相除的余數(shù)。

前面說 Python 有很多人見人愛的輪子（模塊），她還有豐富的內(nèi)建函數(shù)，也會幫我們做不少事情。例如函數(shù) divmod()

>>> divmod(5,2)  # 表示 5 除以 2，返回了商和余數(shù)
(2, 1)
>>> divmod(9,2)
(4, 1)
>>> divmod(5.0,2)
(2.0, 1.0)

四舍五入

最后一個(gè)了，一定要堅(jiān)持，今天的確有點(diǎn)啰嗦了。要實(shí)現(xiàn)四舍五入，很簡單，就是內(nèi)建函數(shù)：round()

動手試試：

>>> round(1.234567,2)
1.23
>>> round(1.234567,3)
1.235
>>> round(10.0/3,4)
3.3333

簡單吧。越簡單的時(shí)候，越要小心，當(dāng)你遇到下面的情況，就有點(diǎn)懷疑了：

>>> round(1.2345,3)
1.234               # 應(yīng)該是：1.235
>>> round(2.235,2)
2.23                # 應(yīng)該是：2.24

哈哈，我發(fā)現(xiàn)了 Python 的一個(gè) bug，太激動了。

別那么激動，如果真的是 bug，這么明顯，是輪不到我的。為什么？具體解釋看這里，下面摘錄官方文檔中的一段話：

Note: The behavior of round() for floats can be surprising: for example, round(2.675, 2) gives 2.67 instead of the expected 2.68. This is not a bug: it’s a result of the fact that most decimal fractions can’t be represented exactly as a float. See Floating Point Arithmetic: Issues and Limitations for more information.

原來真的輪不到我。歸根到底還是浮點(diǎn)數(shù)中的十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制惹的禍。

似乎除法的問題到此要結(jié)束了，其實(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有，不過，做為初學(xué)者，至此即可。還留下了很多話題，比如如何處理循環(huán)小數(shù)問題，我肯定不會讓有探索精神的朋友失望的，在我的 github 中有這樣一個(gè)輪子，如果要深入研究，可以來這里嘗試。

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