http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/6.1.png" alt="picture6.1" />
暑假，小哼準(zhǔn)備去一些城市旅游。有些城市之間有公路，有些城市之間則沒有，如下圖。為了節(jié)省經(jīng)費(fèi)以及方便計(jì)劃旅程，小哼希望在出發(fā)之前知道任意兩個(gè)城市之前的最短路程。
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/6.2.png" alt="picture6.2" />
上圖中有 4 個(gè)城市 8 條公路，公路上的數(shù)字表示這條公路的長(zhǎng)短。請(qǐng)注意這些公路是單向的。我們現(xiàn)在需要求任意兩個(gè)城市之間的最短路程，也就是求任意兩個(gè)點(diǎn)之間的最短路徑。這個(gè)問題這也被稱為“多源最短路徑”問題。
現(xiàn)在需要一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來存儲(chǔ)圖的信息，我們?nèi)匀豢梢杂靡粋€(gè) 4*4 的矩陣（二維數(shù)組 e）來存儲(chǔ)。比如 1 號(hào)城市到 2 號(hào)城市的路程為 2，則設(shè) e[1][2]的值為 2。2 號(hào)城市無法到達(dá) 4 號(hào)城市，則設(shè)置 e[2][4]的值為 ∞。另外此處約定一個(gè)城市自己是到自己的也是 0，例如 e[1][1]為 0，具體如下。
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/6.3.png" alt="picture6.3" />
現(xiàn)在回到問題：如何求任意兩點(diǎn)之間最短路徑呢？通過之前的學(xué)習(xí)我們知道通過深度或廣度優(yōu)先搜索可以求出兩點(diǎn)之間的最短路徑。所以進(jìn)行 n2 遍深度或廣度優(yōu)先搜索，即對(duì)每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)都進(jìn)行一次深度或廣度優(yōu)先搜索，便可以求得任意兩點(diǎn)之間的最短路徑?？墒沁€有沒有別的方法呢？
我們來想一想，根據(jù)我們以往的經(jīng)驗(yàn)，如果要讓任意兩點(diǎn)（例如從頂點(diǎn) a 點(diǎn)到頂點(diǎn) b）之間的路程變短，只能引入第三個(gè)點(diǎn)（頂點(diǎn) k），并通過這個(gè)頂點(diǎn) k 中轉(zhuǎn)即 a->k->b，才可能縮短原來從頂點(diǎn) a 點(diǎn)到頂點(diǎn) b 的路程。那么這個(gè)中轉(zhuǎn)的頂點(diǎn) k 是 1~n 中的哪個(gè)點(diǎn)呢？甚至有時(shí)候不只通過一個(gè)點(diǎn)，而是經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)或者更多點(diǎn)中轉(zhuǎn)會(huì)更短，即 a->k1->k2b->或者 a->k1->k2…->k->i…->b。比如上圖中從 4 號(hào)城市到 3 號(hào)城市（4->3）的路程 e[4][3]原本是 12。如果只通過 1 號(hào)城市中轉(zhuǎn)（4->1->3），路程將縮短為 11（e[4][1]+e[1][3]=5+6=11）。其實(shí) 1 號(hào)城市到 3 號(hào)城市也可以通過 2 號(hào)城市中轉(zhuǎn)，使得 1 號(hào)到 3 號(hào)城市的路程縮短為 5（e[1][2]+e[2][3]=2+3=5）。所以如果同時(shí)經(jīng)過 1 號(hào)和 2 號(hào)兩個(gè)城市中轉(zhuǎn)的話，從 4 號(hào)城市到 3 號(hào)城市的路程會(huì)進(jìn)一步縮短為 10。通過這個(gè)的例子，我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)頂點(diǎn)都有可能使得另外兩個(gè)頂點(diǎn)之間的路程變短。好，下面我們將這個(gè)問題一般化。
當(dāng)任意兩點(diǎn)之間不允許經(jīng)過第三個(gè)點(diǎn)時(shí)，這些城市之間最短路程就是初始路程，如下。
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/6.4.png" alt="picture6.4" />
如現(xiàn)在只允許經(jīng)過 1 號(hào)頂點(diǎn)，求任意兩點(diǎn)之間的最短路程，應(yīng)該如何求呢？只需判斷 e[i][1]+e[1][j]是否比 e[i][j]要小即可。e[i][j]表示的是從 i 號(hào)頂點(diǎn)到 j 號(hào)頂點(diǎn)之間的路程。e[i][1]+e[1][j]表示的是從 i 號(hào)頂點(diǎn)先到 1 號(hào)頂點(diǎn)，再從 1 號(hào)頂點(diǎn)到 j 號(hào)頂點(diǎn)的路程之和。其中 i 是 1~n 循環(huán)，j 也是 1~n 循環(huán)，代碼實(shí)現(xiàn)如下。
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if ( e[i][j] > e[i][1]+e[1][j] )
e[i][j] = e[i][1]+e[1][j];
}
}
在只允許經(jīng)過 1 號(hào)頂點(diǎn)的情況下，任意兩點(diǎn)之間的最短路程更新為：
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/6.5.png" alt="picture6.5" />
通過上圖我們發(fā)現(xiàn)：在只通過 1 號(hào)頂點(diǎn)中轉(zhuǎn)的情況下，3 號(hào)頂點(diǎn)到 2 號(hào)頂點(diǎn)（e[3][2]）、4 號(hào)頂點(diǎn)到 2 號(hào)頂點(diǎn)（e[4][2]）以及 4 號(hào)頂點(diǎn)到 3 號(hào)頂點(diǎn)（e[4][3]）的路程都變短了。
接下來繼續(xù)求在只允許經(jīng)過 1 和 2 號(hào)兩個(gè)頂點(diǎn)的情況下任意兩點(diǎn)之間的最短路程。如何做呢？我們需要在只允許經(jīng)過 1 號(hào)頂點(diǎn)時(shí)任意兩點(diǎn)的最短路程的結(jié)果下，再判斷如果經(jīng)過 2 號(hào)頂點(diǎn)是否可以使得 i 號(hào)頂點(diǎn)到 j 號(hào)頂點(diǎn)之間的路程變得更短。即判斷 e[i][2]+e[2][j]是否比 e[i][j]要小，代碼實(shí)現(xiàn)為如下。
//經(jīng)過1號(hào)頂點(diǎn)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if (e[i][j] > e[i][1]+e[1][j]) e[i][j]=e[i][1]+e[1][j];
//經(jīng)過2號(hào)頂點(diǎn)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if (e[i][j] > e[i][2]+e[2][j]) e[i][j]=e[i][2]+e[2][j];
在只允許經(jīng)過 1 和 2 號(hào)頂點(diǎn)的情況下，任意兩點(diǎn)之間的最短路程更新為：
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/6.6.png" alt="picture6.6" />
通過上圖得知，在相比只允許通過 1 號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)的情況下，這里允許通過 1 和 2 號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)，使得 e[1][3]和 e[4][3]的路程變得更短了。
同理，繼續(xù)在只允許經(jīng)過 1、2 和 3 號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)的情況下，求任意兩點(diǎn)之間的最短路程。任意兩點(diǎn)之間的最短路程更新為：
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/6.7.png" alt="picture6.7" />
最后允許通過所有頂點(diǎn)作為中轉(zhuǎn)，任意兩點(diǎn)之間最終的最短路程為：
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/6.8.png" alt="picture6.8" />
整個(gè)算法過程雖然說起來很麻煩，但是代碼實(shí)現(xiàn)卻非常簡(jiǎn)單，核心代碼只有五行：
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])
e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
這段代碼的基本思想就是：最開始只允許經(jīng)過 1 號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)，接下來只允許經(jīng)過 1 和 2 號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)……允許經(jīng)過 1~n 號(hào)所有頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)，求任意兩點(diǎn)之間的最短路程。用一句話概括就是：從 i 號(hào)頂點(diǎn)到 j 號(hào)頂點(diǎn)只經(jīng)過前k號(hào)點(diǎn)的最短路程。其實(shí)這是一種“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”的思想，關(guān)于這個(gè)思想我們將在《啊哈！算法 2——偉大思維閃耀時(shí)》在做詳細(xì)的討論。下面給出這個(gè)算法的完整代碼：
#include <stdio.h>
int main()
{
int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3;
int inf=99999999; //用inf(infinity的縮寫)存儲(chǔ)一個(gè)我們認(rèn)為的正無窮值
//讀入n和m，n表示頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，m表示邊的條數(shù)
scanf("%d %d",&n,&m);
//初始化
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(i==j) e[i][j]=0;
else e[i][j]=inf;
//讀入邊
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
e[t1][t2]=t3;
}
//Floyd-Warshall算法核心語句
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )
e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
//輸出最終的結(jié)果
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
printf("%10d",e[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
有一點(diǎn)需要注意的是：如何表示正無窮。我們通常將正無窮定義為 99999999，因?yàn)檫@樣即使兩個(gè)正無窮相加，其和仍然不超過 int 類型的范圍（C 語言 int 類型可以存儲(chǔ)的最大正整數(shù)是 2147483647）。在實(shí)際應(yīng)用中最好估計(jì)一下最短路徑的上限，只需要設(shè)置比它大一點(diǎn)既可以。例如有 100 條邊，每條邊不超過 100 的話，只需將正無窮設(shè)置為 10001 即可。如果你認(rèn)為正無窮和其它值相加得到一個(gè)大于正無窮的數(shù)是不被允許的話，我們只需在比較的時(shí)候加兩個(gè)判斷條件就可以了，請(qǐng)注意下面代碼中帶有下劃線的語句。
//Floyd-Warshall算法核心語句
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(e[i][k]<inf && e[k][j]<inf && e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])
e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
上面代碼的輸入數(shù)據(jù)樣式為：
4 8
1 2 2
1 3 6
1 4 4
2 3 3
3 1 7
3 4 1
4 1 5
4 3 12
第一行兩個(gè)數(shù)為 n 和 m，n 表 示頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，m 表示邊的條數(shù)。
接下來 m 行，每一行有三個(gè)數(shù) t1、t2 和 t3，表示頂點(diǎn) t1 到頂點(diǎn) t2 的路程是 t3。
得到最終結(jié)果如下：
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/6.9.png" alt="picture6.9" />
通過這種方法我們可以求出任意兩個(gè)點(diǎn)之間最短路徑。它的時(shí)間復(fù)雜度是 O(N3)。令人很震撼的是它竟然只有五行代碼，實(shí)現(xiàn)起來非常容易。正是因?yàn)樗鼘?shí)現(xiàn)起來非常容易，如果時(shí)間復(fù)雜度要求不高，使用 Floyd-Warshall 來求指定兩點(diǎn)之間的最短路或者指定一個(gè)點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑也是可行的。當(dāng)然也有更快的算法，請(qǐng)看下一節(jié)：Dijkstra 算法。
另外需要注意的是：Floyd-Warshall 算法不能解決帶有“負(fù)權(quán)回路”（或者叫“負(fù)權(quán)環(huán)”）的圖，因?yàn)閹в小柏?fù)權(quán)回路”的圖沒有最短路。例如下面這個(gè)圖就不存在 1 號(hào)頂點(diǎn)到 3 號(hào)頂點(diǎn)的最短路徑。因?yàn)?1->2->3->1->2->3->…->1->2->3 這樣路徑中，每繞一次 1->-2>3 這樣的環(huán)，最短路就會(huì)減少 1，永遠(yuǎn)找不到最短路。其實(shí)如果一個(gè)圖中帶有“負(fù)權(quán)回路”那么這個(gè)圖則沒有最短路。
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/6.10.png" alt="picture6.10" />
此算法由 Robert W. Floyd（羅伯特·弗洛伊德）于 1962 年發(fā)表在“Communications of the ACM”上。同年 Stephen Warshall（史蒂芬·沃舍爾）也獨(dú)立發(fā)表了這個(gè)算法。Robert W．Floyd 這個(gè)牛人是朵奇葩，他原本在芝加哥大學(xué)讀的文學(xué)，但是因?yàn)楫?dāng)時(shí)美國經(jīng)濟(jì)不太景氣，找工作比較困難，無奈之下到西屋電氣公司當(dāng)了一名計(jì)算機(jī)操作員，在 IBM650 機(jī)房值夜班，并由此開始了他的計(jì)算機(jī)生涯。此外他還和 J.W.J. Williams（威廉姆斯）于 1964 年共同發(fā)明了著名的堆排序算法 HEAPSORT。堆排序算法我們將在第七章學(xué)習(xí)。Robert W．Floyd 在 1978 年獲得了圖靈獎(jiǎng)。
【一周一算法】算法 6：只有五行的 Floyd 最短路算法
http://bbs.ahalei.com/thread-4554-1-1.html
(出處: 啊哈磊_編程從這里起步)
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