上周我們介紹了神奇的只有五行的 Floyd 最短路算法，它可以方便的求得任意兩點(diǎn)的最短路徑，這稱為“多源最短路”。本周來(lái)來(lái)介紹指定一個(gè)點(diǎn)（源點(diǎn)）到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑，也叫做“單源最短路徑”。例如求下圖中的 1 號(hào)頂點(diǎn)到 2、3、4、5、6 號(hào)頂點(diǎn)的最短路徑。
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/7.1.png" alt="picture7.1" />
與 Floyd-Warshall 算法一樣這里仍然使用二維數(shù)組 e 來(lái)存儲(chǔ)頂點(diǎn)之間邊的關(guān)系，初始值如下。
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/7.2.png" alt="picture7.2" />
我們還需要用一個(gè)一維數(shù)組 dis 來(lái)存儲(chǔ) 1 號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的初始路程，如下。
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/7.3.png" alt="picture7.3" />
我們將此時(shí) dis 數(shù)組中的值稱為最短路的“估計(jì)值”。
既然是求 1 號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路程，那就先找一個(gè)離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)。通過(guò)數(shù)組 dis 可知當(dāng)前離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近是 2 號(hào)頂點(diǎn)。當(dāng)選擇了 2 號(hào)頂點(diǎn)后，dis[2]的值就已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”，即 1 號(hào)頂點(diǎn)到 2 號(hào)頂點(diǎn)的最短路程就是當(dāng)前 dis[2]值。為什么呢？你想啊，目前離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近的是 2 號(hào)頂點(diǎn)，并且這個(gè)圖所有的邊都是正數(shù)，那么肯定不可能通過(guò)第三個(gè)頂點(diǎn)中轉(zhuǎn)，使得 1 號(hào)頂點(diǎn)到 2 號(hào)頂點(diǎn)的路程進(jìn)一步縮短了。因?yàn)?1 號(hào)頂點(diǎn)到其它頂點(diǎn)的路程肯定沒(méi)有 1 號(hào)到 2 號(hào)頂點(diǎn)短，對(duì)吧 O(∩_∩)O~
既然選了 2 號(hào)頂點(diǎn)，接下來(lái)再來(lái)看 2 號(hào)頂點(diǎn)有哪些出邊呢。有 2->3 和 2->4 這兩條邊。先討論通過(guò) 2->3 這條邊能否讓 1 號(hào)頂點(diǎn)到 3 號(hào)頂點(diǎn)的路程變短。也就是說(shuō)現(xiàn)在來(lái)比較 dis[3]和 dis[2]+e[2][3]的大小。其中 dis[3]表示 1 號(hào)頂點(diǎn)到 3 號(hào)頂點(diǎn)的路程。dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 號(hào)頂點(diǎn)到 2 號(hào)頂點(diǎn)的路程，e[2][3]表示 2->3 這條邊。所以 dis[2]+e[2][3]就表示從 1 號(hào)頂點(diǎn)先到 2 號(hào)頂點(diǎn)，再通過(guò) 2->3 這條邊，到達(dá) 3 號(hào)頂點(diǎn)的路程。
我們發(fā)現(xiàn) dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新為 10。這個(gè)過(guò)程有個(gè)專業(yè)術(shù)語(yǔ)叫做“松弛”。即 1 號(hào)頂點(diǎn)到 3 號(hào)頂點(diǎn)的路程即 dis[3]，通過(guò) 2->3 這條邊松弛成功。這便是 Dijkstra 算法的主要思想：通過(guò)“邊”來(lái)松弛 1 號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的路程。
同理通過(guò) 2->4（e[2][4]），可以將 dis[4]的值從 ∞ 松弛為 4（dis[4]初始為 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新為 4）。
剛才我們對(duì) 2 號(hào)頂點(diǎn)所有的出邊進(jìn)行了松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/7.4.png" alt="picture7.4" />
接下來(lái)，繼續(xù)在剩下的 3、4、5 和 6 號(hào)頂點(diǎn)中，選出離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)。通過(guò)上面更新過(guò) dis 數(shù)組，當(dāng)前離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近是 4 號(hào)頂點(diǎn)。此時(shí)，dis[4]的值已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。下面繼續(xù)對(duì) 4 號(hào)頂點(diǎn)的所有出邊（4->3，4->5 和 4->6）用剛才的方法進(jìn)行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/7.5.png" alt="picture7.5" />
繼續(xù)在剩下的 3、5 和 6 號(hào)頂點(diǎn)中，選出離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)，這次選擇 3 號(hào)頂點(diǎn)。此時(shí)，dis[3]的值已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。對(duì) 3 號(hào)頂點(diǎn)的所有出邊（3->5）進(jìn)行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/7.6.png" alt="picture7.6" />
繼續(xù)在剩下的 5 和 6 號(hào)頂點(diǎn)中，選出離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)，這次選擇 5 號(hào)頂點(diǎn)。此時(shí)，dis[5]的值已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。對(duì)5號(hào)頂點(diǎn)的所有出邊（5->4）進(jìn)行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/7.7.png" alt="picture7.7" />
最后對(duì) 6 號(hào)頂點(diǎn)所有點(diǎn)出邊進(jìn)行松弛。因?yàn)檫@個(gè)例子中 6 號(hào)頂點(diǎn)沒(méi)有出邊，因此不用處理。到此，dis 數(shù)組中所有的值都已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。
最終 dis 數(shù)組如下，這便是 1 號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑。
http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/images/7.8.png" alt="picture7.8" />
OK，現(xiàn)在來(lái)總結(jié)一下剛才的算法。算法的基本思想是：每次找到離源點(diǎn)（上面例子的源點(diǎn)就是 1 號(hào)頂點(diǎn)）最近的一個(gè)頂點(diǎn)，然后以該頂點(diǎn)為中心進(jìn)行擴(kuò)展，最終得到源點(diǎn)到其余所有點(diǎn)的最短路徑?；静襟E如下：
完整的 Dijkstra 算法代碼如下：
#include <stdio.h>
int main()
{
int e[10][10],dis[10],book[10],i,j,n,m,t1,t2,t3,u,v,min;
int inf=99999999; //用inf(infinity的縮寫)存儲(chǔ)一個(gè)我們認(rèn)為的正無(wú)窮值
//讀入n和m，n表示頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，m表示邊的條數(shù)
scanf("%d %d",&n,&m);
//初始化
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(i==j) e[i][j]=0;
else e[i][j]=inf;
//讀入邊
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
e[t1][t2]=t3;
}
//初始化dis數(shù)組，這里是1號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的初始路程
for(i=1;i<=n;i++)
dis[i]=e[1][i];
//book數(shù)組初始化
for(i=1;i<=n;i++)
book[i]=0;
book[1]=1;
//Dijkstra算法核心語(yǔ)句
for(i=1;i<=n-1;i++)
{
//找到離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)
min=inf;
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(book[j]==0 && dis[j]<min)
{
min=dis[j];
u=j;
}
}
book[u]=1;
for(v=1;v<=n;v++)
{
if(e[u][v]<inf)
{
if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])
dis[v]=dis[u]+e[u][v];
}
}
}
//輸出最終的結(jié)果
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",dis[i]);
getchar();
getchar();
return 0;
}
可以輸入以下數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。第一行兩個(gè)整數(shù) n m。n 表示頂點(diǎn)個(gè)數(shù)（頂點(diǎn)編號(hào)為 1~n），m 表示邊的條數(shù)。接下來(lái) m 行表示，每行有 3 個(gè)數(shù) x y z。表示頂點(diǎn) x 到頂點(diǎn) y 邊的權(quán)值為 z。
6 9
1 2 1
1 3 12
2 3 9
2 4 3
3 5 5
4 3 4
4 5 13
4 6 15
5 6 4
運(yùn)行結(jié)果是
0 1 8 4 13 17
通過(guò)上面的代碼我們可以看出，這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度是 O(N2)。其中每次找到離 1 號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)的時(shí)間復(fù)雜度是 O(N)，這里我們可以用“堆”（以后再說(shuō)）來(lái)優(yōu)化，使得這一部分的時(shí)間復(fù)雜度降低到 O(logN)。另外對(duì)于邊數(shù) M 少于 N2 的稀疏圖來(lái)說(shuō)（我們把 M 遠(yuǎn)小于 N2 的圖稱為稀疏圖，而 M 相對(duì)較大的圖稱為稠密圖），我們可以用鄰接表（這是個(gè)神馬東西？不要著急，下周再仔細(xì)講解）來(lái)代替鄰接矩陣，使得整個(gè)時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)化到 O( (M+N)logN )。請(qǐng)注意！在最壞的情況下 M 就是 N2，這樣的話 MlogN 要比 N2 還要大。但是大多數(shù)情況下并不會(huì)有那么多邊，因此(M+N)logN 要比 N2 小很多。
【啊哈！算法】系列 7：Dijkstra 最短路算法
http://ahalei.blog.51cto.com/4767671/1387799
掃碼關(guān)注鍍金池微信號(hào)
手機(jī)訂課，優(yōu)惠多多